导师应该尽快将研究生引领到科研的前沿。首先，要引导研究生在观念上的转变，要他们认识到研究生和学生有本质的不同。学生的主要任务是学习他人已知的东西。过去从小学到中学再到大学当学生主要是“学”，方式是学会教师所教的东西。而研究生的任务是探索未知的东西，创造新的知识。“研究”，研，是细细琢磨，追求完美；究，就是究其所以然。在英文中，研究是“research”，它是由“re”(反复)和“search”(寻找)所组成的。
兴趣是做研究最有力的动力，要培养研究生对自己所研究问题的兴趣。没有爱就不可能会有恋。只有热爱自己的研究方向，才可能对它迷恋。对自己迷恋的东西进行研究是一件快乐的事情。没有兴趣是很难持之以恒的，而持之以恒正是做研究所需要的。思考是研究的部分，是创新的前提。思考对研究者来说是必不可少的。很难设想，不思考的人如何做研究。我国教育体制使得大多数学生善于考试，而不善于思考。统一的解题思路，标准的考试答案，让我们很多学生习惯于被教着如何去想，而不敢自己去独立思考。作为导师要引导研究生积极主动地对面临的问题进行独立的思考，而且这种思考应该是持久的，反复的和深入的。对一个问题如果连想都没有想透，又怎么可能找到好方法去解决它呢?
敢于提问是一个优秀研究者的必备素质。提问能让我们把不懂的东西变成懂的东西，提问能让我们从不同的角度去考虑同一问题，提问能让我们始终保持着探索的状态，提问能让我们养成追根问底的习惯，提问能让我们抓住做出发现的机会。我们应该鼓励研究生大胆怀疑，大胆假设，大胆猜测。我们应该带着疑问去听课，带着问题去看文章。我在研究生院讲课时总是许诺给提问的学生在期末考试时加5分，但几十个课时下来，提问者还是寥寥无几。可见，积极引导我们的研究生勇于提问和善于提问是何等的迫切!
选题是研究的开始；同时，也是研究的重要组成部分。一个好的选题是成功的一半。每个研究生的专业背景，数学基础，兴趣爱好都不一样，所以应该针对每个研究生的特点确定其论文选题。要鼓励研究生自己选题；同时，导师也要把好关，给研究生提供必要的建议。既不能让研究生做已经过时意义不大的问题，也不鼓励他们盲目追求热门。何况，学科的前沿并不完全等同于热门。要鼓励学生敢于去碰大问题，难问题。当研究生选择难度非常大的题目时，导师应有判断和相当把握的估计，即使难题不能最后攻克，也应该能得到一些阶段性结果，使之组成一篇合格的学位论文。
要鼓励研究生敢于挑战权威，包括自己的导师。通常的情形是，一个研究生读了很多已有的文章，觉得可做的东西都已被做了，没被做的又都太难，那些大科学家都没做出来的，我一个研究生怎么可能做出来？要让研究生明白，大科学家也可能有考虑不全面的地方，何况大科学家当时可能和我们一样是研究生呢。一个问题用已有的方法去处理可能很难，但用一种全新的方法就可能比较容易。要经常问自己：对于这样的问题，是不是所有的方法都试过了？是不是已有的好的技巧都用了？是不是可以借鉴其它领域的方法和技巧？是不是还可以针对这一问题发明一种新的技巧？是不是可以将问题转化成另一种等价形式来处理？
做研究要有刻苦钻研的精神。不少研究生碰到问题如果一个星期（甚至一两天）解决不了就放弃了，觉得自己解决不了。要告诫研究生，大多数重要的研究成果都是花功夫取得的。如果一个结果能够轻而易举地得到，倒是要问一下，其结果和推导过程是不是正确的？当确定正确了还要问:结果是不是己经被人做过了？结果是不是还能做得更好？只有这样，才可能做出来真正有重要影响的，而且又不容易让别人轻易超越的结果。
做研究要静得下心，沉得住气，不要东一枪西一矛。把一个问题搞透比对多个问题只有肤浅了解要好得多。有些研究生做完一个小题目就马上找一个毫不搭界的题目接着做，几年的研究下来，学位论文丰富倒是丰富。但是，没有一个重要的结果。
导师教书育人，教书只是个方式，重要的是育人。而培育研究生，指导做学问只是其中的一部分，更重要的是对研究生为人处世方面的培养和教育。
我们应该教育研究生:作为一个社会人，不论是不是研究生，为人是第一位的。作为研究生应当有远大的志向，要有正确的人生观，要做一个有抱负的人。就像数学与系统科学研究院的院训中所说的，要“系天下”。要有勇于拼搏、敢为人先的精神，要有扎扎实实、勤奋刻苦、任劳任怨的工作态度，要有实事求是、善于创新的科学作风。我们还应该培养研究生的团队精神，培养他们与他人合作的能力、协调能力和组织能力。
以上是我的几点粗浅体会。做一个导师不难，难的是做一个好导师。指导研究生很大程度上是身教言传。这要求我们这些当导师的要严格要求自己，要不断学习，不断进步，不然的话只能是误人子弟。
（袁亚湘 数学院副院长，研究员，研究生院教授）
