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在国内工作一年多，接触了许多中学生，大学生和研究生。为了吸引优秀的学生到数学中来，我与他们有了许多的对话与交流，这引发了我对数学教育从各方面的思考。迄今已有许多文章对我们的教育体制提出批评，认为它扼杀了学生们的想象力。但我觉得我们的教育从中学起就过分强调技巧，根本没有开拓学生的知识面才是根本的弊病。见多才能识广，而没有宽广的知识面，想象力就是无源之水。在中学里，以奥数为甚的题海战术使学生忘记了做题的目的是为了理解知识。在大学里，有些老师的知识就过于陈旧和狭窄，将学生引入死胡同，更不可能拓宽学生的知识面了。我觉得对数学专业的学生而言，要首先拓宽眼界，不仅在数学里的各个学科之间，更包括物理等相关学科。种种感想促成了这篇文章，希望我自身的经历与体会能起到抛砖引玉的作用。

    我将结合自己的治学经验讨论一下知识的重要性以及知识，技巧与想象力的关系。从我读研究生开始，我的工作就一直围绕着物理学中出现的几何与拓扑问题。物理学家需要数学作为工具，反过来他们又借助物理理论提出数学上的猜想，虽然物理学家的推导很多时候是不严格的，但是这些猜想往往最后都被证明是正确的。这是非常令人感到惊奇的!

    为了解决物理学家提出的数学猜想，我们发展了全新的数学理论，发现了不同数学分支之间意想不到的联系。这些数学上的革命又为物理学的继续发展提供了严格的理论基石。数学和物理学的相互交织造就了科学史上的多次革命，大家熟知的有“微积分与牛顿力学定律”，“广义相对论与黎曼几何”，近年来的大小例子更是层出不穷，“量子场论与指标理论结合得到椭圆亏格刚性定理”，“共形场论给出的模空间Verlinde公式”，“Yang-Mills场与4维拓扑”，“陈-Simons理论与3维拓扑，纽结理论”，“关于弦理论中镜像对称与Calabi-丘空间的镜公式”，“关于陈-Simons理论，Calabi-丘空间与Gromov-Witten不变量的Marino-Vafa猜想”，“弦理论与Ricci流，3维拓扑的关系”，“镜像对称与数论的关系”等等。近20年数学菲尔兹奖得主的获奖工作，有一半与量子场论，弦理论有关。这使得我们有理由猜测：上帝根据数学公式创造了世界？但毫无疑问，数学是开启大自然的钥匙。

    要指出的是物理学家对数学的贡献不仅仅限于预测数学结论，很多时候，他们也用严格的数学语言为我们指出数学上重要的研究对象。Witten和Vafa是两位杰出的代表，他们的数学甚至要好过绝大部分数学家。有人形容他们就像从未来时空穿梭回来的一样，只记住了未来数学支离破碎的景象，凭着记忆叙述出来，成了挑战当代数学家的猜测。物理学家学习数学的方式也许值得我们借鉴，Witten他们大概从来不做数学习题，但却用最快的速度学到他们所需要的数学。哈佛大学数学教授Taubes 曾说，“物理学家先学指标理论，然后才是黎曼几何”。我觉得我们数学家不仅要时刻留意物理学的发展，更要注意物理学家掌握知识的技巧，那就是在研究中学习，在学习中研究。

    物理学家特别青睐“无穷”，甚至有时候不惜以牺牲“严格性”作为代价，比如SL(2,Z)对称，大N极限的陈-Simons理论，路径积分。虽然Feynman的路径积分还缺少严格的数学基础，该理论因其物理上的直观性和便于形式演算在现代量子物理中产生了深远的影响。正所谓“妙在无穷，美即有用”。这种不严格也给了他们无穷的想象空间。

    那么我们应该如何学习数学呢？

    我去美国留学时，随身只带了两本书，一本是丘成桐与Schoen著的“微分几何”，一本是Gilbarg与Trudinger的“二阶椭圆偏微分方程”。我想在分析与几何里大展身手。1988年9月底，我走进丘成桐先生的办公室，开始了我在哈佛的学习生活。他问我，想开始做研究还是继续学更多的数学。我回答想开始做研究。可是丘先生对我说，“你要尽可能多的学习数学，因为毕业以后要想学什么新东西都不容易了。”他让我学习代数几何，代数数论，几何分析…有许多内容直到今天我仍然无法完全理解。但这却深刻影响了我的学术生涯和人生轨迹。在当上教授以后，繁重的教学和科研压力让我体会到丘先生的话是多么的语重心长。

    知识与技巧，到底哪一个更加重要呢？我的观点是，对年轻人而言，知识更重要!知识让我们站得更高，看到正确的方向，因为方向错了，一切努力都不会有结果。但是也要承认，研究中关键的突破往往来自于技巧上的创新。做个比喻，一个武林高手，学了很多门派的武功，但是内功不行，就容易走火入魔。大家知道丘先生在众多数学领域都有开创性工作，得益于他极强的分析功底及广博的知识面。现在国内热衷的中学生数学竞赛，太过于强调技巧。其实我们的学生从中学开始就应该接受多方面知识的熏陶，让孩子多看名人传记，培养对科学的好奇心。我最近读的牛顿传记就写的非常精彩。正是由于好奇心，牛顿大学二年级给自己提出了几十个有关大自然的问题，为了解决它们，他发展了微积分作为基础，进而发展了四大物理定律。

    下面我将联系自己的经历讨论拥有宽广知识面的重要性，数学与物理、工程学科交叉的必要性，以及与朋友学术上交流的好处。

    我在中国科学院研究生院读书时，同学中有张伟平，周向宇，现在都成了国内最杰出的青年数学家。那时很少有机会能听到前沿的课程。我们自己组织讨论班，报告陈类，指标理论，Mordell猜想…开始还无法完全弄明白，但是却开阔了眼界，至少知道了什么是“好的”、值得学习的数学。这对每个人来说都是非常重要的，我们需要培养自己对于数学的鉴赏力。如果你还是无法确信什么是好的数学，那么就去读大数学家的著作和文章，跟着大师走总是没错的。后来在我研究中成为重要工具的局部化思想也是在国内学习与做硕士论文期间掌握的。后来我用局部化思想来理解我所学到的一切数学知识，就像用一根线串起了许多珠子。

    从我来到哈佛大学开始，让我感触最深的就是那里教授和学生勤奋工作的作风。现在国内最缺少的正是这样一种风气。一流的大学其实就是这样一流的氛围。而推动他们如此投入的是对数学的好奇与热爱和对知识的渴求。哈佛举办各种讨论班，参加的学生非常积极，座位不够了，甚至会坐在地上。我感觉好像一头扎进了知识的海洋，每个早晨都感受到不同的阳光，那是非常令人兴奋的日子。

    Witten的文章“超对称与Morse理论”，对我的工作影响是最大的，还有哈佛大学教授Bott“厚积薄发，举重若轻”的研究风格也令我颇多受益。Bott说过，“要顺流而下，不要逆流而上”。就是说做数学永远要顺流而下，不要太费劲，太勉强，要追求“轻舟已过万重山”般的流畅，但也不要随波逐流，两方面要协调好，否则就谈不上创新。

    数学上的每一次变革都离不开新的思想与方法，以及不同分支学科的融会贯通。这就要求我们在掌握丰富知识的基础上更具创造性的思考问题，才能在数学发展的前沿占有一席之地。数学与物理的交互作用无疑将是今后相当长时间里数学研究的主流分支。举几个学科间交叉的例子，微积分与线性代数结合创造了微分几何；Faltings用综合代数数论与代数几何的Arakelov理论证明Mordell猜测；从对称函数或更一般的，从紧群表示论出发，可以得到陈类，K-理论，Riemann-Roch公式和指标理论；集模形式，表示论和拓扑于一体的椭圆亏格；物理学家揭示的弦论中的各种对偶性在数学上的许多应用等等。

    数学家对整个社会和人们的日常生活都有很大的贡献。从计算机，互联网，到生命科学，金融业，处处可见数学的踪影。尽管现在美国找工作不容易，华尔街还招大量的数学系毕业生，培训三个月就能胜任。诺贝尔经济学奖获得者中也有好几位是数学家，包括“美丽心灵”的主人公Nash和曾在国际数学家大会上做过一小时报告的Debreu等。可以说，数学是最无私、最有潜力的专业。进可努力成为大科学家，退可过有质量的生活。数学要转到别的专业很容易，但反过来，别的专业要转到数学可就不容易了，数学可以给你很好的逻辑思维训练，即使以后不做数学了，也可以在别的领域做得很好。我在北大数学系的150个同学，虽然现在做纯数学的就我一个，但他们现在生活得也都很好。

    爱因斯坦说过，“想象力比知识更重要”。可是没有深厚的知识底蕴，想象力也只能是空中楼阁。所谓“天才”，就是脑袋里时刻放着七八个问题，在阅读文献的同时，不断用新学到的技巧和方法来分析这些问题，看能否找到突破，只要用心坚持，总能解决掉其中两三个问题，那么别人就会觉得你是天才了。

    我的博士论文主要研究椭圆亏格，它是指标理论和模形式的结合体，可以看作环路空间上的指标理论。在Witten受到量子场论启发提出椭圆亏格的刚性猜想以后，Bott和Taubes花了很大精力研究这个问题，可是他们给出的证明技巧性太强，很复杂。我参加了哈佛和MIT关于椭圆亏格的讨论班。我注意到环路空间上椭圆算子在模群SL(2,Z)作用下的对称性，接下来用了几个月时间给出了刚性猜想的一个简洁证明，其中用到数论中的Jacobi-theta 函数和模形式。SL(2,Z)对称性也是弦论中的基本原理。这个证明的思想最初萌发于去普林斯顿参加乒乓球比赛的路上，最后一步证明的豁然开朗则是产生在看一部电影的时候。记得开始的几次证明总是有漏洞，我苦恼至极。但我坚定地相信这么美妙的思想一定是对的，不然数学就一点都不有趣了，也许我也早就放弃做数学了。这就是我多方面学习培养的数学感觉在起关键作用了。后来我继续推广了刚性定理，使之与无穷维李代数结合到一起。我不仅通过这新的方法发现了新的消灭和刚性定理，还凭借数论和代数几何的知识，通过模曲面的几何来理解刚性现象。这些方法现在仍然非常有用，完全超出了我的预期。这全新的方法也引发了我与麻晓南，张伟平及董崇英等朋友的合作，将顶点算子等理论与椭圆算子的刚性结合到一起。

    我研究生涯的第一步正是得益于广泛的知识积累。在研究的过程中，我也更加深了对所学知识的理解。哈佛几年的学习，我觉得最重要的收获是对“好的数学“的感觉和把握能力。

    80年代末，物理学家Verlinde在研究2维共形场论时提出了著名的计算黎曼面上稳定丛模空间的典则线丛的全纯截面维数的猜测，即Verlinde公式，这是一个90年代初非常热门的研究专题。黎曼面上稳定丛的模空间在数学的许多分支中都有研究，特别是代数几何与拓扑学。数学家尝试了很多办法计算其上典则线丛的全纯截面维数，但都失败了。可是弦论学家却出人意料的给出了一个非常简洁的闭公式。不久Witten在研究二维规范理论时提出了一个关于黎曼面上主丛的模空间上相交数闭公式的猜测，原则上Witten公式结合Riemann-Roch公式或者指标公式就可以得到Verlinde公式。当时我在MIT任教，参加了许多关于这方面问题的讨论班，尝试了许多不同的方法来理解Witten公式，这是一个对紧李群所有不可约表示求和的无穷和式。那段时间我对辛几何也有了较深刻的理解。

    直到有一天在MIT的图书馆里，我和往常一样翻阅感兴趣的文献，不经意间看到了李群上热核的表达式，是由一个与Witten公式相同类型的无穷和式给出的。我立刻确信自己找到了证明Witten公式的工具，就是李群的热核。有了思想只是第一步，还有许多技巧上的困难需要克服，我用了几个月时间才写下了全部的证明细节。

    受到我的工作激励，Bismut得以用我的方法给出了一般Verlinde公式的证明。

    “研究”的英文单词“research”，就是反复寻找，很好的体现了研究的本质。丘成桐与杨振宁先生都有常在图书馆翻阅杂志的好习惯，不求懂，只为见多识广。与其他学科一样，数学的每一点进步都是建立在前人工作基础之上的。可谓“开卷有益”!

    1996年我接到斯坦福大学聘书，就在我将要驱车离开波士顿前的一小时，丘成桐先生打电话来要和我谈论有关镜像对称的问题。1990年英国物理学家Candelas等人在镜像对称的基础上，提出了五次Calabi-丘空间上有理曲线计数公式的猜测。近百年来代数几何学家都在试图计算这些有理曲线的数目，却只能得到不超过3次的有理曲线数目。而Candelas的公式通过计算一个很简单的三阶常微分方程，即Picard-Fuchs方程，给出了任意次数有理曲线的数目，引起很大的轰动。许多数学家尝试证明这个公式，包括Witten,Kontsevich，Givental等著名数学家都作出了贡献。我先前并未关注镜像对称这个研究领域，于是开始加倍努力的阅读文献。有时候冥思苦想多日却不得其解，甚至会在经历繁复的计算后换取一个“此路不通”的经验。后来在不经意间，当我注意到稳定映射模空间上的递归结构的重要性时，问题好像一下子豁然开朗了，这种美妙的感觉是旁人很难体会的。很快，丘成桐，连文豪和我就给出了Candelas镜像猜想的第一个完整证明。证明的关键是“函子局部化”技巧，这在我今后的研究工作中也是一个非常重要的工具。此后我们又一起将镜像定理推到极其广泛的情形。这是一次非常愉快的合作，我们彼此的特长相互结合在一起，使困难的问题很快地得到解决。

    我在UCLA的这些年中在研究上有很多收获，我们还证明了Grassmann流形的Hori-Vafa镜像猜测。其中除了函子局部化公式外，还要用到很复杂的组合技巧与代数几何，这些困难是在与刘剑豪讨论后才得以克服的。剑豪的刻苦和不惧一切困难的勇气都给了我深刻的印象。所以与好朋友，特别是彼此了解对方工作与能力的朋友交往是很重要的。

    90年代初，Kontsevich证明了Witten的一个著名猜测，即代数曲线模空间上某些陈类积分(称为Hodge积分)的生成级数满足无穷多个KdV型的微分方程。我很早就开始关注Kontsevich的这项工作以及相关的发展，而且镜像对称在高亏格的推广也需要计算更广泛的Hodge积分。2001年Marino和Vafa从Chern-Simons理论和Calabi-Yau空间的对偶关系出发，猜测曲线模空间上一类更广泛Hodge积分的生成级数可以表达为关于对称群表示的组合闭公式，也就是Chern-Simons纽结不变量。

    我很快就被个漂亮的猜测吸引住了，并且意识到需要先在组合方法上找到突破口。2002年暑假，正值国际数学家大会在国内召开，我与周坚在北京到杭州，上海到北京的飞机上讨论了许多例如镜像对称方面的问题，当然也提到了Marino-Vafa猜想。此后又继续通过email进行了许多富有成果的讨论。不久，周坚就理清了Marino-Vafa公式中的组合部分，即对称群表示的组合公式。他注意到这个组合公式满足一个所谓的“切割－连接”方程。因为这个“切割－连接”方程等价于一组常微分方程，由解的唯一性定理，剩下的问题只要证明Marino-Vafa公式中的几何部分，即Hodge积分的生成级数也满足这个“切割－连接”方程，同时与组合部分具有相同的初值。

    Marino-Vafa公式几何部分的证明进行得相当的曲折和困难，我们用函子局部化技巧作了许多尝试。2003年4月，刘秋菊来到加州大学洛杉矶分校，参加了我主持的讨论班，我把与周坚的研究进展告诉刘秋菊，在我们三人的合作努力下，很快就完成了几何部分的证明。记得我们三个人当时曾被极其复杂的表达式困惑住，百思不得其解，曾经想到放弃而只写下部分结果。最后刘秋菊从箭头湖赶回来与我讨论，做无奈的最后一试，用了类似我们证明镜公式的办法，居然成功!那一刹那的感觉是非常令人难忘的。当这个猜想被证明时，真有一种天地人合一的感觉，那是一种灵魂激荡的美妙感觉。证明的预印本于2003年6月发表，在国际上引起了很大的反响。

    Marino-Vafa公式与Witten-Kontsevich的公式相比，不但前者的Hodge积分更加广泛，而且Marino-Vafa公式是一个非递归的闭公式。更重要的是，我们的证明是几何方法与组合技巧的美妙融合，对今后类似公式的证明都具有方法论上的很好借鉴。我们继续用我们的方法建立了数学拓扑顶点理论。许多更有意思的结论可由此推出，包括我们建立的与指标理论的联系及我的学生潘鹏用这新的理论证明了圈形Calabi-丘流形上著名的Gopakumar-Vafa猜想。

    近朱者赤，和一群聪明的人在一起，你会变得更聪明。

    黎曼面的模空间和Teichmuller空间的几何是一个古老的问题。丘成桐在80年代初期与郑绍远，莫毅明合作证明Teichmuller空间上Kahler-Einstein度量的存在性。之后他猜测黎曼面的Teichmuller空间上的Kahler-Einstein度量与经典的Teichmuller度量，Bergman度量等价。最近，通过详细研究两类全新的完备度量，Ricci度量与摄动Ricci度量，丘成桐，孙晓峰和我证明了丘成桐的猜测。而且还证明了所有经典的完全度量都与我们新引进的度量是等价的，这澄清了这个领域里许多的老问题。更重要的是我们进一步得到了模空间的logarithmic余切丛是稳定的代数几何结果。这个结果至今代数几何学家仍不知如何下手。

    在我还是学生时，我就对模空间和Teichmuller空间的几何问题有浓厚的兴趣。我参加各种讨论班，还写了两篇论文，用模空间上的Weil-Petersson度量的曲率性质证明了代数几何中的几个重要结果。我认为这是学习一门新课程最行之有效的方法，比做习题有益的多，理解问题和概念也深刻的多。

    孙晓峰是我在斯坦福任教时结识的，当时他是Schoen的博士生，跟我上一些读书课。他人很聪明而且坚持不懈，这是难得的数学家素质。我们与丘先生一起在黎曼面模空间问题上进行了许多卓有成效的讨论，使得这项工作得以顺利完成。我们的工作对于黎曼面模空间几何学是很重要的贡献。我们还在继续研究许多很有意思的问题，许多结果很快会写出来。

    通过上面的讨论，希望大家已经能够感受到知识的重要，而要获取知识，惟有勤奋，而且与朋友多交流，共同创造一个好的探讨和吸收知识的氛围。另一方面，读懂一篇文章，我们会有成就感，但那只是看别人唱戏，我们需要发展自己的技巧来解决问题。当知识和技巧插上想象力的翅膀，你会发现一切都变得那么美妙。

    我一直相信大自然都是可以用数学公式来描述的，所以说数学的力量是无穷的。长期以来，数学已经成了我生活的一部分，是数学的魅力在牵着我走。从某种意义上讲数学就是人生的一种感觉，这说不出的感觉好极了。

    (本文为刘克峰教授在2004年首届西湖青年数学家论坛上的演讲，周诚放整理)

    注：刘克峰教授1965年出生于河南开封。现有一个15岁的女儿和一对6岁的双胞胎儿子。本科和硕士分别毕业于北京大学和中科院数学所，1993年在哈佛大学师从国际数学大师丘成桐获得博士学位。在2002年成为加州大学洛杉矶分校教授之前，他先后在麻省理工学院和斯坦福大学任教。获得过享有盛名的Sloan研究奖和Guggenheim奖。并在2002年北京国际数学家大会上作45分钟报告。他获得了2004年国际华人数学家大会晨兴数学金奖。与清华大学周坚合作证明的Marino-Vafa猜想入选2004年度中国高校十大科技进展，这是数学成果的首次入选。

    刘克峰教授现在担任浙江大学数学中心、数学系光彪讲座教授、数学中心执行主任、数学系主任。还是中科院数学所，中国科学技术大学，河南大学的客座教授。

    刘克峰开辟了关于Witten刚性定理与椭圆亏格的新研究方向，倡导镜原理的数学理论，并且精确化了代数几何中模空间研究的分析与局部化技巧。