7月2日下午2点30分,杰出青年科学家，中科院数学与系统科学研究院陈志明研究员在中关村园区教学楼N306教室作了题为《求解微分方程的后验误差估计与自适应有限元方法》的报告，主要阐述了自适应有限元基础、核心、求解过程，并介绍了他在求解复杂问题上的系列成果。报告非常精彩，让在座听众接触到了有限元方法研究方面世界最新研究进展。
陈志明研究员是2006年国际数学家大会上唯一受邀做45分钟报告的国内学者，现任中科院数学院计算数学与科学工程计算研究所所长、科学与工程计算国家重点实验室主任、“高性能科学计算研究”973项目首席科学家。他的研究领域为数值分析与科学计算，主要研究非线性偏微分方程的高性能计算方法，近年来对椭圆变分不等式、超导数学模型、连续铸钢模型、电磁散射问题和非饱和水流运移Richards方程等非线性偏微分方程的基于有限元后验误差分析的自适应有限元方法进行了系统和深入地研究，获得一系列重要进展。
“什么是真正的数学问题？”陈志明研究员认为：“真正的数学问题是越研究越发现有意义的问题。如果在这些问题上坚持研究十年以上，那么就一定能取得好成果。” 自适应有限元方法的思想最早出现在1978年，美国数学家Babuska完成了这一方法的基本理论，但那个时候，自适应有限元方法被用来解决一些比较简单的数学模型问题，陈志明研究员的主要工作就是用它来解决比较复杂和困难的工程问题。 从简单问题到复杂的工程问题，这个方法要经历和解决的困难却非常大。“我在自适应有限元方法上研究了十多年，发现这个方法越研究越有意思。”陈志明研究员在报告中说。
在实际生产实践中，很多工程问题的解决都要用到微分方程，但用计算机求解微分方程需要进行大量计算。有时候，为了把误差控制在足够小的范围内，需要进行上亿次的运算，这对一般计算机来说非常吃力。有时即便进行上百亿次运算，也无法把误差控制在理想范围之内。为了减少运算次数、控制误差范围，显然，需要更好的求解方法。
用有限元方法解微分方程有三步：设计网格、在网格上将微分方程离散、解代数方程。方法的目标是极小化误差，使得网格模型的解最接近实际解。传统的有限元方法误差收敛速度太慢，因此即使对于一些简单方程，求解起来也非常困难。比如说Laplace方程，如果将方程离散成256*256的网格，那么误差为0.85;如果离散成512*512的网格，误差为0.76;如果离散成1024*1024，误差下降为0.69,此时网格上有一百多万个节点，一般的计算机不能计算。因此，传统的有限元方法不能应用于大规模问题。
自适应有限元方法以常规有限元方法为基础，以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心，通过自适应分析，自动调整算法以改进求解过程。“从方法论角度来说，人们已经得到结论，自适应是用有限元方法解微分方程的最优离散方法。”陈志明说，在微分方程求解的有限元道路上，自适应已经是数学上能找到的“极限”方法了。对于上述Laplace方程，用自适应有限元方法只需离散成2673个点，误差将降至0.075。
在报告中陈志明研究员着重讲述了自适应有限元方法在复杂问题中的应用，这也是他的最新研究成果。这些方法都具有非常重要的实际意义。比如说麦克斯韦电磁散射问题在民航客机和军用飞机领域上是一个关键性问题，Helmholtz方程在石油勘探方面具有指导作用。陈志明研究员在这些方面作出了突出贡献，被国际学术界认为“非常重要和有用”。
“现在，用自适应方法解微分方程，设计网格的工作可以交给计算机自动完成，不再需要人们手工设置和尝试，这样节省了大量工作和时间。”陈志明说。
